이 책은 미적분학의 기본 정리, 오일러 항등식, E = mc^2, 맥스웰 방정식 등 세상을 바꾼 위대한 50가지 방정식을 소개해준다. 방정식에 얽힌 재미난 이야기들과 함께, 방정식을 구성하는 기호가 무엇을 의미하는지, 이 방정식이 세상과 어떻게 이어지는지를 흥미롭게 풀어낸다. 풍부한 이미지와 친절한 일러스트는 딱딱한 방정식을 입체적으로 이해하는 데 큰 도움이 될 것이다.

들어가며 6

우주의 모양: 기하학과 수
피타고라스 정리 ……………………………… 10
삼각법 …………………………………………… 14
원뿔곡선 ……………………………………… 16
제논의 이분법 ………………………………… 18
피보나치 수 …………………………………… 22
미적분학의 기본 정리 ………………………… 26
곡률 …………………………………………… 30
프레네-세레의 공식 …………………………… 34
로그 …………………………………………… 36
오일러 항등식 ………………………………… 40
오일러 표수 …………………………………… 44
털투성이 공의 정리 …………………………… 46

자연을 거울로 비추기: 과학
케플러의 제1법칙 ……………………………… 52
뉴턴의 제2법칙 ………………………………… 56
만유인력 ………………………………………… 60
각운동량 보존의 법칙 ………………………… 62
이상기체 법칙 ………………………………… 66
스넬의 법칙 …………………………………… 68
브라운 운동 …………………………………… 70
엔트로피 ……………………………………… 74
감쇠 조화 진동자 ……………………………… 78
열 방정식 ……………………………………… 80
파동 방정식 …………………………………… 84
E = mc2 ……………………………………… 88
맥스웰 방정식 ………………………………… 92
나비에-스토크스 방정식 …………………… 96
로트카-볼테라 방정식 ………………………100
슈뢰딩거의 파동 방정식 ………………………104

세상은 어떻게 발전하고 있을까: 기술
메르카토르 도법 ………………………………110
구면 삼각법 ……………………………………114
교차비율…………………………………………118
코시 응력 텐서 …………………………………122
치올코프스키의 로켓 방정식 …………………124
드모르간의 법칙 ………………………………126
오류 수정 코드 …………………………………130
정보 이론 ………………………………………134
푸리에 변환 ……………………………………138
블랙-숄스 방정식 ……………………………142
퍼지 논리 ………………………………………146
자유도 ……………………………………………150
사원수 회전 ……………………………………152
구글의 페이지랭크 ……………………………156

우리가 알면서도 모르는 것: 확률과 불확실성
균일분포 …………………………………………162
도박꾼의 파산 문제 ……………………………166
베이즈의 정리 …………………………………168
지수분포 ………………………………………172
큰 수의 법칙 ……………………………………174
정규분포 ………………………………………176
카이제곱 검정 …………………………………180
비서 문제 ………………………………………182

찾아보기 186/ 감사의 말 191/ 도판의 출처 191

리치 코크런

방정식에 담긴 세상의 심오한 패턴과 규칙성
우리 삶에 방정식은 어떠한 영향을 미칠까?

“새로운 수학 아이디어를 접할 때, 전체적으로 어떤 일이 일어나는지 직관적인 그림을 그리는 것부터 시작하는 게 좋다. 그렇기에 이 책은 수학의 여러 아이디어를 개괄적으로 쉽게 설명한 다음, 아이디어들 사이의 연관성을 보여주고자 했다. 이 책은 방정식에 관한 책이다. 유명한 수학책을 보면 대개 무시무시한 수식을 쓰지 않으려고 하면서 조심스레 길을 찾아간다. 하지만 이 책은 정반대의 접근을 취한다. 수학자들이 사용하는 기호는 삶에 도움을 주려는 것이지 결코 더 힘들게 하려는 것이 아니다. 이런 점에서 수학 기호는 음악가, 안무가, 뜨개질하는 사람, 체스 선수들이 사용하는 전문 기호와 같다. 만약 그 기호의 의미를 모른다면 완전히 까막눈이 된 듯한 기분일 것이다. 하지만 기호를 읽을 수만 있다면 번거롭게 말로 늘어놓지 않아도 그림 보듯이 쉽게 알아볼 수 있다.” _ 본문 중에서

피타고라스 정리와 같은 고전적인 방정식에서부터
퍼지 논리나 구글 페이지랭크 방정식에 이르기까지,
가장 위해한 50가지 방정식에 담긴 통찰과 아이디어!

우리가 세상을 지금처럼 이해하는 것은 방정식 덕분이다. 수학적 통찰이 담긴 방정식이 없었다면 바깥세상은 여전히 모호한 채로 남아 있었을 것이다. 리치 코크런의 『수학 방정식의 사생활』(원제: The Secret Life of Equations)은 피타고라스 정리, 미적분학의 기본 정리, E = mc^2, 슈뢰딩거의 파동 방정식 등 역사상 가장 위대한 방정식 50가지를 뽑은 다음, 이들 방정식이 역사를 어떻게 바꾸었는지, 과연 우리에게 어떤 의미가 있는지를 풍부한 사례와 함께 소개해준다. 오일러 항등식, 스넬의 법칙, 맥스웰 방정식, 나비에-스토크스 방정식, 로트카-볼테라 방정식, 브라운 운동, 베이즈의 정리, 카이제곱 검정, 비서 문제 등 기하학, 물리학, 정보과학, 확률 분야에서 내로라하는 방정식들을 다 불러 모았다.
무엇보다, 저자는 간결하게 개념을 정리해준 다음, 방정식을 이루는 개별 요소들을 하나씩 쪼개서 효과적으로 설명해준다. 저자는 개별 부품이 맞물려 돌아가는 기계처럼 방정식을 바라보면서, 마치 기계 속 부품의 역할을 따져보듯이, 방정식의 개별 요소들이 무슨 일을 하는지, 다른 요소들과 어떤 관계를 맺는지를 찬찬히 보여주고자 한다.
예컨대, 저자에 따르면, 미적분학의 기본 정리를 나타내는 식은, 시간이 갈수록 물체의 위치가 어떻게 바뀌는지 알 때 물체가 특정 순간에 얼마나 빨리 움직이는지를 알 수 있게 해주는 방정식이다. 그래서 이 방정식은 어떤 대상의 가속도를 알 때 그 대상이 어떻게 움직일지 예측할 수 있게 해준다.
오일러 항등식 e^iπ+1=0은 다섯 가지 기본적인 수가 밀접하게 연결되어 있다는 것을 알려주는 매우 우아하고 아름다운 방정식이다. 이 방정식에는 복소수가 포함돼 있는데, 이 복소수를 활용하면 유체역학, 전자공학, 디지털 처리 과정 같은 여러 분야의 실용적인 문제를 훨씬 매끄럽게 처리할 수 있다.
뉴턴 물리학의 주춧돌이라 할 수 있는 뉴턴의 제 2법칙, 즉 F=ma는 힘과 질량, 가속도 사이의 관계를 나타내준다. 이 식에 따르면, 힘, 질량, 가속도 중 두 값만 알아도 나머지 하나를 찾아낼 수 있으며, 가속도로 속도와 위치를 계산할 수도 있다.
아인슈타인의 저 유명한 방정식 E = mc^2에서, E는 에너지, m은 질량, c는 진공 속 빛의 속도이다. 이 식은 물리학을 통틀어 가장 유명한 방정식인데, 에너지와 질량과의 관계를 단적으로 보여준다. 자세히 보면, 이 식은 운동에너지를 구하는 공식인 K=½×mv^2과 닮았다. 말하자면, 뉴턴 역학에서 상대성이론으로 전환하려면 운동에너지 공식을 E = mc^2으로 바꾸면 된다. 이 방정식은 에너지와 질량은 완전히 별개의 개념이지만, 에너지와 질량이 그렇게 크게 다르지 않다는 것을 보여준다.
푸리에 변환은, 거의 모든 복잡한 함수를 무척 단순한 함수들의 무한한 모음으로 바꿀 수 있게 해주는 만능 방정식이다. 말하자면, 푸리에 변환은 이상하고 별난 함수를 단순하고 보편적인 언어로 번역해주는 식이라 할 수 있다. 그래서 우리는 이 보편 언어로 소통할 수 있게 되는데, 시간에 관한 함수가 있으면 이것을 시간이 아니라 진동수를 통해 이 함수에 접근하게 해준다. 우리에게 직관적으로 잘 와 닿는 것은 시간 영역이지만, 진동수 영역으로 바꾸면 수학적으로 다루기가 훨씬 간단해진다.
또한 이 책은 방정식의 개별 요소들을 쪼개서 보여주는 한편, 방정식이 우리 실생활과 어떤 관련이 있는지도 따져서 보여준다.
메르카토르 도법은 회전 타원체를 편평한 지도에 옮길 수 있도록 했으며, 치올코프스키의 로켓 방정식은 국제 우주 정거장, GPS 시스템, 인공위성 작동 등을 가능할 수 있게 해주었다. 드모르간의 법칙은 인터넷 검색 엔진의 근간이 되었으며, 정보의 양을 보여주는 섀넌-하틀리 정리는 컴튜퍼와 통신 기술에 지대한 영향을 미쳤다. 블랙-숄스 방정식은 파생상품을 기초로 하는 디지털 금융 상품을 가능하게 했으며, 퍼지 논리는 컴퓨터가 여러 변수를 포함하는 복잡한 상황을 처리할 수 있게 해주었다. 조그만 입자들의 무작위 운동을 보여주는 ‘브라운 운동’은 금융 시장에 놀라운 모형을 제공해주었다. 1900년대에 루이 바슐리에는 브라운 운동 이론을 이용해 파리 증권 거래소의 주가 등락을 분석한 바 있다.
이처럼 이 책은 피타고라스 정리와 같은 고전적인 방정식에서부터 퍼지 논리나 구글의 페이지랭크 방정식에 이르기까지, 가장 위대한 50가지 방정식에 담긴 통찰과 아이디어를 큰 틀에서 보여주는 책이다. E = mc^2에서 왜 빛의 속도(c)를 제곱하는지, F=ma에서 가속도(a)는 무엇을 의미하는지 등 기존에 자주 접했던 방정식조차도 다시 한 번 뜯어보게 한다. 방정식의 역사, 수학자와 물리학자의 일화, 일상생활과의 연관성 등의 이야기를 통해 방정식이 지닌 위력과 그 아름다움을 충분히 경험할 수 있을 것이다.