금융 모델에 대한 공리적 접근을 지양하고 수학에 치중하는 학계와 고정 관념을 갖는 트레이더 사이에 균형 잡힌 감각으로 모델에서 나오는 통찰과 실제 운용의 실용성을 결합해 변동성 스마일을 설명한다. 우선, 모델링에 관한 이론과 가치 평가의 원칙을 설명한 후, 블랙-숄즈-머튼 옵션 가격 결정 모델을 소개한다. 이 모델과 시장의 실제 거동과 상충하는 변동성 스마일이라는 모순을 해결하기 위해 개발된 국소 변동성, 확률 변동성 그리고 점프 확산을 자세히 설명한다.

1장. 들어가며

__소개
__BSM 모델의 한계
__변동성 스마일
__금융 모델의 이해
__모델의 목적

2장. 복제 원리

__복제
__자산의 위험 모델
__투자의 핵심 질문
__파생 상품
__연습문제

3장. 복제

__정적 복제
__간단한 동적 복제
__연습문제

4장. 분산 스와프

__변동성 민감도
__변동성 스와프와 분산 스와프
__변동성 스와프의 복제
__옵션으로 복제
__로그 계약
__로그 계약의 공정가와 미래 실현 분산
__VIX 변동성 지수
__연습문제

5장. 헤지 전략의 P&L

__블랙-숄즈-머튼 방정식
__헤지 거래의 P&L
__BSM 세계에서 헤지 효과
__실현 변동성 헤지 P&L
__실현 변동성 헤지 P&L의 경계
__내재 변동성 헤지 P&L
__연습문제

6장. 이산 헤지

__복제 오차
__보기
__결론
__연습문제

7장. 거래 비용

__영향
__효과 분석
__연습문제

8장. 스마일

__스마일, 기간 구조, 곡면, 스큐
__스마일 그리는 방법
__변수 선택의 중요성
__델타와 스마일
__델타와 행사가의 관계
__다양한 시장에서 스마일
__스마일의 영향
__연습문제

9장. 스마일의 범위

__무차익 범위
__연습문제

10장. 스마일 모델들

__스마일에 부합하는 모델
__스마일로 인한 문제들
__연습문제

11장. 내재 분포와 정적 복제

__내재 분포
__브리덴-리첸베르거 공식
__정적 복제
__BSM 위험 중립 확률 밀도
__연습문제

12장. 약형 정적 복제

__지금까지 요약
__약형 정적 복제의 소개
__경계 옵션의 정적 복제
__상승소멸 콜옵션의 정적 복제
__연습문제

13장. 이항 모델

__주가 변동을 위한 이항 모델
__옵션 평가를 위한 이항 모델
__BSM 모델의 확장
__연습문제

14장. 국소 변동성 I

__변수 변동성
__국소 변동성을 갖는 이항 모델
__국소 변동성과 내재 변동성의 관계
__이항 모델의 어려움
__읽을거리
__연습문제

15장. 국소 변동성 II

__듀파이어 식
__듀파이어 식 이해하기
__이항 모델에서 듀파이어 식의 유도
__듀파이어 식의 형식화된 증명
__국소 변동성과 내재 변동성 사이의 관계
__연습문제

16장. 국소 변동성 III

__헤지 비율
__이색 옵션의 가치
__연습문제

17장. 국소 변동성 IV

__국소 변동성 모델의 장단점
__지수 옵션에 대한 모델 테스트

18장. 변동성 변화의 패턴

__스큐 거동에 관한 관계
__확률 변동성 모델로
__연습문제

19장. 확률 변동성 모델 I

__확률 변동성 소개
__BSM 모델로부터 발견적 접근 방식
__연습문제

20장. 확률 변동성 모델 II

__국소 변동성 모델 확장
__BSM 모델의 확장
__확률 변동성 모델에 대한 특성해
__연습문제

21장. 확률 변동성 모델 III

__가격도 고착 스마일
__대칭 스마일
__상태 2개인 확률 경로 변동성
__GBM 확률 변동성
__연습문제

22장. 확률 변동성 모델 IV

__평균 회귀 속성
__상관관계의 영향
__헤지 비율
__최적 헤지 비율
__맺음말
__참고 자료
__연습문제

23장. 점프 확산 모델 I

__점프 개요
__순수 점프 모델링
__연습문제

24장. 점프 확산 모델 II

__점프와 확산
__삼항 점프 확산 모델
__점프 확산 모델에서 콜옵션 가치 평가
__혼합 공식
__스마일에 영향
__간단한 근사식
__추가 사항
__연습문제
나가면서

부록
__부록 A. BSM 모델의 유용한 미분
__부록 B. 역방향 이토 적분
__부록 C. 분산 스와프의 조각 선형 복제

이매뉴얼 더만, 마이클 밀러, 박주형 , 추정호, 주명식, 손정복

* 이 책의 구성 *

처음 두 장은 책 전체에서 반복해서 언급하는 주제인 모델링에 관한 이론과 가치 평가의 원칙을 자세히 설명한다. 3장에서 13장까지는 블랙-숄즈-머튼 옵션 가격 결정 모델을 살펴본다. 이 모델의 핵심에는 시장의 실제 거동과 상충하는 변동성 스마일이라는 모순이 있다. 이런 결함에도 모델 자체뿐만 아니라 모델이 기반으로 하는 원리를 사용하는 생산적인 방법이 있음을 보여준다. 마지막으로 14장에서 24장까지는 변동성 스마일과 일치하는 고급 옵션 모델을 설명한다. 이런 모델은 국소 변동성, 확률 변동성, 점프 확산이라는 세 가지 형태로 분류할 수 있다. 새로운 모델은 블랙-숄즈-머튼 모델의 많은 단점을 해결하지만 여전히 불완전하다. 시장이 발전하고 트레이더가 경험을 쌓으면 이전 모델의 한계를 깨닫고 수정하거나 새로운 모델로 대체해야 한다. 우리의 희망은 이 책의 원리를 이용해 독자들이 자신만의 모델을 개발하고 사용할 수 있는 능력을 갖추는 것이다.

* 지은이의 말 *

지난 30년 동안 금융에 관한 책과 논문들은 매우 형식화됐고 공리, 정리, 보조정리로 가득 찼다. 이런 공리적 접근은 순수 수학 분야에서는 적합하지만 금융 분야에는 맞지 않다. 금융에서는 아이디어가 우선돼야 하며, 수학은 단순히 아이디어를 표현하고 그 결과를 설명하는 데 사용하는 언어에 불과하다. 금융 이론을 배우고 가르치는 가장 좋은 방법은 전통적으로 수학에 치중하는 학계와 수학은 쓸모없다는 고정 관념을 갖는 트레이더 사이에 균형을 잡는 것이다. 이 책은 모델에서 나오는 통찰과 실제 운용의 실용성을 결합해 변동성 스마일을 다루는 방법을 제시한다.

* 옮긴이의 말 *

인간은 노력하는 한 방황한다.
? 괴테(J. W. von Goethe) 『파우스트(Faust)』

악마 메피스토펠레스(Mephistopheles)가 하나님에게 파우스트가 신의 뜻에 충실할 것인가 아닌가에 대한 내기를 제안할 때 하나님이 하신 말이다. 『파우스트』 전체를 관통하는 이 말은, 금융 공학을 공부하는 우리에게도 전하는 메시지가 있다. 1987년 10월 ‘검은 월요일’, 1997년 ‘아시아 금융 위기’, 2008년 ‘서브프라임 사태’, 2020년 3월 ‘코로나19 대폭락’까지 시장 참여자들의 ‘탐욕’은 언제나 크고 작은 위기를 가져왔고, 잘 작동하리라 믿었던 우리의 모델은 계속해서 조금씩 균열을 만들었다. 그럼에도 전 세계의 퀀트들은 끊임없이 새로운 시장을 설명하는 모델을 찾으려고 여전히 각자의 자리에서 노력하고 있다. 이 책은 이러한 방황의 결과를 일부 정리한 책이며, 새로운 시장이 나타날 때 어떤 원칙과 아이디어로 시장을 이해하는 모델을 개발해야 하는지 생각하게 한다.

이 책은 금융 공학 또는 금융 수학을 공부하는 학생들보다는 적절한 파생 상품 평가를 위해 현업에서 고생하는 퀀트와 트레이더를 대상으로 한다. 책의 주요 내용이 블랙-숄즈-머튼 모델의 결함 중 하나인 변동성 스마일을 옵션 가치 평가에 반영하고자 기존 모델을 어떻게 확장해 나갈 것인가에 대한 설명이기 때문이다. 대학에서는 BSM 모델을 중심으로 공부하지만 실무에서는 해당 모델이 결함이 있음을 자연스럽게 받아들이고 시장에 대응하고자 어떻게 모델을 수정할지 고민한다. 따라서 학생들보다는 퀀트와 트레이더가 이 책을 통해 생각해 볼 점이 많을 것이라고 생각한다.

시장 참여자를 설명하는 절대적 법칙이 금융 공학에는 없기 때문에 현실에서의 파생 상품 평가는 아직 해결해야 할 부분이 많다. 이 책은 이러한 해결되지 않은 문제 중 변동성 스마일이라는 주제를 주로 다룬다. 변동성은 장외 파생 상품의 가치 평가뿐만 아니라 헤지, 리스크 분석, 손익 분석 등 파생 상품과 관련된 업무 전반에 큰 영향을 미치는 요소이지만, 시장에서 직접 관찰이 불가능하다. 따라서 장외 파생 상품을 다루기 위해서는 변동성에 대한 모델이 필요하다.

1987년 10월 ‘검은 월요일’ 이전에는 BSM 모델의 내재 변동성이 시장을 설명해 주는 변동성이었다. 하지만 이후에는 기존 모델로 설명할 수 없는 변동성 스마일이라는 개념의 등장과 함께 새로운 시장이 나타났다. 퀀트들은 이 개념을 설명하고자 BSM 모델을 확장하기 시작했고, 국소 변동성, 확률 변동성, 점프 확산 변동성이라는 세 가지 부류의 모델을 개발했다. 이 책에서는 각각의 모델을 어떻게 다뤄야 하는지에 대해 수학에 집중하기보다는 아이디어를 집중해서 다룬다.

부끄러운 고백이지만, 증권사에서 퀀트로서 일을 하면서 모델을 만들고 이를 이용해 본 경험은 전무하다. 모델을 만드는 것은 학계의 일이고, 현업에서는 이미 개발된 모델을 이해하고 시스템에 구현하면 된다는 핑계가 언제나 자리잡고 있기 때문이다. 하지만 퀀트로서 일을 하다 보면 시장이 바뀌고, 바뀐 시장에 맞게 모델을 수정하거나 개발해야 하는 순간이 있다. 그 순간에 저자의 바람처럼 이 책에서의 모델을 확장해 나가는 과정들이 자신만의 모델을 개발하고 사용하는 데 도움이 되길 옮긴이 또한 바란다.

- 옮긴이를 대표해
손정복